Qualunque sistema anche non fisico ha bisogno, per prevederne la sua evoluzione, di un modello matematico che ci consende di calcolarne le variazioni temporali delle sue caratteristiche principali. Ma ha anche bisogno che siano note le sue condizioni iniziali, da cui partire col calcolo, che, come abbiamo visto, si basa su equazioni. Normalmente piccole variazioni iniziali portano a piccole variazioni nell'evoluzione di un sistema. Se faccio cadere a terra un bicchiere, ha poca importanza se cade da un certo punto o da un punto ad esso vicino...

Non è così per tutta una classe di sistemi che chiamiamo caotici, in cui piccole variazioni dei parametri iniziali portano a grandi variazioni della sua evoluzione temporale.

Questa equazione rappresenta un modello demografico e descrive due effetti:

• riproduzione, in cui la popolazione cresce a un tasso proporzionale alla popolazione corrente quando la popolazione iniziale è piccola;
• mortalità, in cui il tasso di crescita diminuisce con una velocità proporzionale al valore ottenuto prendendo la "portata" teorica dell'ambiente meno la popolazione corrente.

in essa 

x_n è un numero compreso tra zero e uno, e rappresenta il rapporto tra la popolazione esistente e quella massima possibile in un anno n, e quindi x_orappresenta il rapporto tra la popolazione iniziale (all'anno 0) e quella massima

r è un numero positivo, e rappresenta un tasso combinato tra la riproduzione e la mortalità.

La sensibilità alle condizioni iniziali è comunemente nota come "effetto farfalla", effetto così chiamato per via del titolo di una relazione presentata da Edward Lorenz nel 1972 all'Associazione Americana per l'Avanzamento della Scienza a Washington, DC, dal titolo La prevedibilità: Il battere delle ali di una farfalla in Brasile provoca un tornado in Texas?.^[4] Il movimento delle ali di una farfalla rappresenta un piccolo cambiamento nella condizione iniziale del sistema, che provoca una catena di eventi che portano a fenomeni di scala sempre più vasta. Se la farfalla non avesse sbattuto le ali, la traiettoria del sistema sarebbe stata molto diversa.

Molti fenomeni hanno comportamenti caotici: ad esempio quelli metereologici,in climatologia, fluidodinamica (turbolenza), teoria del laser, ecologia.

Qualche sistema dinamico, come la mappa logisticache abbiamo visto all'inizio, mostra comportamenti caotici che si estendono in tuttospazio delle configurazioni (si chiama anche transitività topologica), tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'attrattore, dove avvengono fenomeni caotici.

Attrattore di Lorentz

Attrattore di Lorentz e metereologia

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Ringrazio, come sempre, Wikipedia

Premessa. 

Tale teorema è la base dei meccanismi di compressione che vengono usati quotidianamente nei nostri pc, smartphones, telefonia, in tutti cioè gli apparati digitali. Vi siete mai chiesti come si fa a rendere così piccola un'immagine (jpg) , una musica (mp3) un video (mp4)?

I metodi di compressione sono di due tipi: "a perdita (jpg, mp3, mp4, eccetera)" e "non a perdita" (zip)

Una sequenza di lettere come aaaaaaaa possiede meno entropia di una parola come alfabeto la quale possiede ancora un entropia di una stringa completamente casuale come j3s0vek3. L'entropia può essere vista come la casualità contenuta in una stringa, ed è strettamente collegata al numero minimo di bit necessari per memorizzarla.

Si deve a Claude Shannon lo studio dell'entropia nella teoria dell'informazione, il suo primo lavoro sull'argomento si trova nell'articolo Una teoria matematica della comunicazione del 1948. Nel primo teorema di Shannon, o teorema di Shannon sulla codifica di sorgente, egli dimostrò che una sorgente casuale d'informazione non può essere rappresentata con un numero di bit inferiore alla sua entropia, cioè alla sua autoinformazione media. Tale risultato era implicito nella definizione statistica dell'entropia di John Von Neumann, anche se lo stesso Von Neumann, interrogato al riguardo da Shannon nel forse unico scambio di opinioni tra loro, non ritenne la cosa degna di attenzione. Come ricordò Shannon più tardi a proposito del risultato da lui trovato:

L'entropia di una informazione è uguale a: , dove  è la quantità di informazione presente nel nostro messaggio.

Quindi una sequenza di messaggi emessi da una sorgente possono essere compressi senza perdita d'informazione fino ad un numero minimo di bit per messaggio uguale all'entropia della sorgente. E' anche vero che: 

Da questo teorema discendono altri teoremi, di cui quello più importante è quello del campionamento, fondamentale se devo trasformare in bit, grandezze discrete, un fenomeno continuo. Facciamo il classico esempio della sinusoide. E' una curva semplice, una sola armonica. Entropicamente molto bassa. La posso campionare perfettamente. Ma è impossibile campionare perfettamente un'onda quadra, che è formata di infinite armoniche, cioè è la sovrapposizione di infinite sinusoidi. Il passaggio dall'analogico al digitale indurrà in questo caso delle perdite di informazione, che possono essere rese piccole, ma esisteranno sempre. La musica digitale, ahinoi, è sempre inferiore a quella che sentiamo dal vivo a quella che c'è sui dischi in vinile!

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Un'applicazione del secondo principio della termodinamica la possiamo vedere in questi giorni, nel risultato delle elezioni politiche francesi. Tranne che a Parigi ed al sud, la destra ha vinto. Il resto della Francia possiamo dire che è un sistema sostanzialmente isolato, in cui l'unica fonte esterna di informazione è quella, ovviamente falsa, quindi non è vera informazione, delle televisioni. Mancano, come nelle zone interne di ogni paese, come anche l'Italia, di librerie, cinema, teatri, luoghi di aggregazione. Gli abitanzi sono disperatamente isolati nella loro incultura, drogata da falsi messaggi. Ed in tali condizioni, l'entropia, il disordine e la corsa verso il nulla termico non può che aumentare. Una popolazione in queste condizioni è formata da molecole isolate scarsamente interagenti. Finchè avranno pane per sfamarsi, il loro unico destino è la barbarie, cioè il fascismo.

E' il santo Graal della fisica.

Mettiamo in discussione la meccanica quantistica, la relatività generale, qualsiasi teoria o modello, ma la termodinamica no. Ogni nuova scoperta si deve confrontare con le sue leggi , se non le rispetta, sono problemi.

Cosa significa questa (dis)equazione?

• «È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l'apporto di lavoro esterno» (formulazione di Clausius) Il frigorifero ha sempre bisogno di una sorgente esterna di energia.
• «È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea» (formulazione di Kelvin-Planck). Impossibilità del moto perpetuo "di seconda specie". 
• «È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%.» Si butta via sempre qualche cosa, concorrendo all'aumento di entropia

Ma anche: in un sistema isolato l'entropia o rimane come è o aumenta. L'entropia è una misura del livello di disordine presente all'interno di un sistema. In altre parole l'evoluzione di qualsiasi sitema isolato tende al massimo disordine.  In qualche modo esiste una freccia del tempo univoca, dal passato verso il futuro. 

Incontreremo l'entropia anche nella teoria dell'informazione, in quanto essa è legata a quanto ne sappiamo di un sistema. 

Il fatto che esista una "freccia del tempo" sembra essere un fenomeno che emerge dalla seconda legge.

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Le equazioni di Maxwell dell'elettrodinamica avevano dentro si sè alcune cose strane: non solo ipotizzavano che le onde eletttromagnetiche viaggiassero tutte alla stessa velocità, che tale velocità in assenza di materia fosse un valore finito e molto alto, ma che tale velocità fosse molto particolare. Non si componeva con la velocità della loro sorgente! Cioè se ho una pila e l'accendo la luce si propaga a 299 792,458 km/s e se sto in macchina e viaggio a 100 km/h (0,028 Km/s) non accade che la luce vada  a 299792,486 km/s, ma va sempre a 299 792,458 km/s!

Cioè la propagazione della luce viola uno dei cardini della fisica classica: la relatività del moto. Gaileo e Newton potevano fare le valigie! Einstein pose come postulato questa evidenza sperimentale e da esso ne derivano conseguenze paradossali. In più stabilì che tale velocità fosse un limite invalicabile, la massima velocità possibile.

Consideriamo il seguente esperimento mentale: Supponiamo che abbiamo un'auto che ha un serbatoio di capacità infinita e percorra una strada anch'essa infinita, senza resistenza aerodinamica. Il pilota tiene 

sempre il piede sull'acceleratore. Cosa accade? Ovviamente l'auto aumenta di velocità, costantemente. Dopo un pò di tempo l'auto avrà una velocità alta,molto alta ed il pilota incomincia a divertirsi.  Ma anche ad innervosirsi. Nota che l'auto incontra progressivamente sempre maggiore difficoltà ad aumentare la sua velocità. Si sta avvicinando al limite invalicabile della velocità della luce! Il motore ruggisce, la benzina non è un problema, ma niente. Pensa: ma dove cavolo va a finire l'energia che sto utilizzando, la benzina brucia per niente? ma l'energia non scompare mai. Si conserva, cioè deve andare da qualche parte. E dove può mai andare? L'auto si oppone al moto, è sempre più restia ad accelerare. Questo fatto significa che sta aumentando la sua inerzia. Cioè la sua massa inerziale. Volgarmente "pesa di più". L'energia contenuta nella benzina, trasformata dal motore in lavoro meccanico, si trasforma in massa dell'auto. Più vado avanti, più l'auto pesa. Vicino alla velocità della luce,la massa è enorme e tende ad essere infinita. L'energia diventa massa! L'energia e la massa sono trasformabili l'una nell'altra.

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