Vi siete mai chiesti come funzionano i sintetizzatori musicali usati dai gruppi rock? Sentite il suono del moog della PFM  in Impressioni di settembre. Come produce quel suono? 
Lo strumento ha degli oscillatori, cioè dei circuiti che producono frequenze e la più semplice di esse è la sinusoide, che poi è il suono prodotto da un diapason. Fourier scoprì che se sommo in modo opportuno tali sinusoidi, posso "sintetizzare" qualunque forma d'onda corrispondente a qualsiasi strumento musicale. Io mi sono divertito a sintetizzare qualcosa di molto simile all'onda quadra, sommando alla frequenza fondamentale le sue armoniche dispari, cioè oscillazioni via via 3,5,7,9, ecc più alte ma con 3,5,7,9 ecc. ampiezze più basse. Il perchè di questo costituisce la teoria delle trasformate di Fourier. nella figura in alto in blu è la fondamentale le onde più piccole le armoniche, ne rappresento solo tre, mentre in viola è la somma delle 3,5,7,9,11,13, quindi 5 armoniche. Già con 10 di esse si ha un qualcosa di molto simile all'onda quadra.Se volete, ho il file excel.

(da Wikipedia).La trasformata di Fourier è largamente utilizzata nell'analisi in frequenza dei sistemi dinamici, nella risoluzione delle equazioni differenziali e in teoria dei segnali. Ad esempio, nell'ingegneria dei sistemi la trasformata di Fourier della risposta impulsiva caratterizza la risposta in frequenza del sistema in oggetto.

Il motivo di una così vasta diffusione risiede nel fatto che si tratta di uno strumento che permette di scomporre un segnale generico in una somma infinita di sinusoidi con frequenze, ampiezze e fasi diverse; e successivamente permette di ricostruirlo tramite la formula inversa di sintesi (o "antitrasformazione"). L'insieme di valori in funzione della frequenza, continuo o discreto, è detto spettro di ampiezza e spettro di fase.

Se il segnale in oggetto è un segnale periodico, la sua trasformata di Fourier è un insieme discreto di valori, che in tal caso prende il nome di spettro discreto o spettro "a pettine": la frequenza più bassa è dettaarmonica fondamentale ed è quella che ha peso maggiore nella ricomposizione finale del segnale, mentre le altre frequenze sono multiple della fondamentale e prendono talvolta il nome di "armoniche secondarie". In questo caso la rispettiva formula inversa di sintesi costituisce lo sviluppo in serie di Fourier della funzione o segnale periodico originario. Se il segnale ha un valor medio diverso da zero la serie restituisce anche una componente costante che lo rappresenta. Se un segnale periodico viene troncato all'esterno di un certo intervallo in ascissa rimanendo definito solo all'interno di un certo intervallo di definizione, lo spettro risultante sarà quello discreto in cui però ciascuna riga si allarga nel dominio della variabile dipendente di un valore pari all'inverso dell'intervallo di definizione del segnale stesso.

Nel caso in cui la funzione sia non periodica lo spettro è continuo, e tanto più è esteso lungo l'asse delle frequenze quanto più è limitato nel dominio originario della variabile indipendente, e viceversa.

La teoria della trasformata e antitrasformata di Fourier generalizza dunque la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici, ricomprendendo i segnali periodici come caso particolare ed insieme confluiscono nell'analisi di Fourier e nell'analisi armonica.

La trasformata di Laplace è un'estensione della trasformata di Fourier che è stata introdotta poiché consente di trattare funzioni particolari che non sono integrabili secondo Fourier, come le funzioni continue a tratti. Data la trasformata di Laplace di una funzione (o segnale), sotto determinate ipotesi si può ottenere la sua trasformata di Fourier ponendo , dove  è l'unità immaginaria e  la frequenza delle sinusoidi di base la cui combinazione lineare determina la trasformata di Fourier.

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Partiamo da una equazione che esprime la seconda legge della dinamica, della serie "ma Newton non si poteva fare i fatti suoi?"

F=ma, dove F sono le forse applicate ad un corso di massa m ed a è la sua accelerazione.

Questa dice che se conosco F ed m, posso calcolare a ed, in generale, se conosco due grandezze, ne ricavo la terza(non è possibile calcolare due cose se ne conosco solo una!)

Ma questa equazione è solo apparentemente semplice, nasconde un tranello. "Se io voglio sapere che velocità ha la nostra massa? O come si sposta?" Semplici ed innocenti domande, ma che scatenarono la scoperta di una nuova branca della matematica, il calcolo differenziale.
Cosa è la velocità, cosa è lo spostamento? Come sono legate all'accelerazione?

Vediamo. La velocità è come varia lo spostamento nel tempo: la scriviamo ds/dt (variazione della velocità rispetto alla variazione del tempo). Volgarmente è la derivata dello spostamento (si veda cosa è la derivata). Quindi v=ds/dt
L'accelerazione è come varia la velocità nel tempo: la scriviamo dv/dt . E' la derivata della velocità.

Quindi posso scrivere f=m dv/dt oppure ancora f= m d/dt ( ds/dt) cioè m d²s/dt². Urka! la forza  è uguale alla massa moltiplicato la derivata seconda dello spostamento.

Il problema cioè che si pone è: conosco F ed m e devo calcolare una grandezza, la velocità, tale che la sua variazione nel tempo sia pari a F/m ed ancor peggio per lo spostamento. La variazione della variazione nel tempo dello spostamento è sempre uguale a F/m!

Quello che voglio dire è che f=ma è un'equazione in cui dentro ci stanno derivate: è un'equazione differenziale. L'ingognita sono funzioni del tempo, cioè come si sposta o che velocità ha un oggetto, istante per istante. Nel nostro caso dobbiamo trovare quella funzione del tempo, lo spostamento, che derivato non una ma due volte, sia uguale a F/m. Nota bene che è, in qualche modo, il problema inverso di calcolare derivate. devo cioè trovare funzioni che derivate diano il risultato noto, Esso si chiama calcolo integrale, e furono per questo create quelle strane formule che hanno una strana e sinuosa s all'inizio (vedi formula 9)

Immenso problema matematico, di cui non esiste soluzione unica, è come risolvere qualunque equazione differenziale. Lo si sa fare per classi di funzioni, non per tutte e spessissimo vengono usati i computer per risolverle numericamente.

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Ha angustiato e sempre angustierà gli umani. Non esiste un metodo unico per risolverle, per trovare cioè il termine incognito. Perchè possono essere differenti sia il tipo di equazione che il tipo di incognita, in un mix infinito di varianti.

Ad esempio, le 1,4,6,13,16 vediamo che hanno solo le quattro operazioni con l'aggiunta di una radice quadrata(1). In tal caso la matematica elementare ci aiuta molto dato che semplici regole ci consentono di calcolare ciò che vogliamo. Se, ad esempio, sposto un termine al di là dell'uguale, se è posivivo diventa negativo e viceversa, purchè sia presente solo col + o col -. Se invece è a moltiplicare, se lo sposto è a dividere e viceversa. Ad esempio E=mc² implica che E/c²=m.

In altri casi il legame tra le grandezze è "incapsulato" in altri operatori matematici più complessi, come funzioni goniometriche (seno, coseno, tangenti) che hanno a che fare con grandezze angolari, oppure in logaritmi/esponenziali (2,7,9,15). In questi casi esistono precise procedure per risolverle, che torturano ogni studente delle superiori.

Molto più difficili sono le altre. Le grandezze incognite sono funzioni, cioè infinite coppie di valori legate fra di loro da una legge, da un "andamento". E' l'Everest della matematica.

Nota:

Esempio del grafico di una funzione. Essa è una particolare funzione, parabola, molto comune in natura. L'antenna parabolica per vedere sky, oppure immaginate di stare nel punto -1 e lanciare in alto ed in avanti una pietra...cadrà a 1, descrivendo, nel tempo, la traiettoria in figura. Come potete notare, ci sono due assi evidenziati, uno orizzontale e l'altro verticale. Si chiamano ascisse ed ordinate ed ogni punto della funzione ha due coordinate, sui due assi. la cosa notevole è che mi accorgo che c'è un legame tra le infinite coppie. In questo caso il valore delle ordinate è il quadrato di quello sulle ascisse. Ma può essere, in generale, un legame matematico qualsiasi. Qua non voglio fare una trattazione rigorosa sulle funzioni, ma è necessario intuire cosa sono.

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Parto dai miei appunti di quando ero studente: come potete vedere, questa equazione sembra una serie di caratteri scritti da un pazzo. E sembra diversa da quella in alto, ma non lo è. nell'equazione scritta in alto, H, è la cosidetta Hamiltoniana del sistema. Hamilton è un altro che si doveva fare i fatti suoi. Per farla breve, in H sono inserite derivate rispetto al tempo ed allo spazio. Dopo qualche calcolo si perviene a quella manoscritta. Per le date, non preoccupatevi.

Come si può notare questa è un'equazione d'onda, molto simile a quella riportata nell'articolo delle equazioni. Ma è un'onda strana ed esotica, che si muove nel campo dei numeri complessi, anzi in uno strano spazio, quello di Hilbert (sempre H!). Lo possiamo vedere anche dalla presenza di i a secondo membro le δ presenti stanno a significare "derivate parziali" rispetto ad una sola variabile, nel caso che ho una funzione, nel nostro caso Ψ che dipende sia dallo spazio che dal tempo. Solo il suo "modulo quadro" ha senso fisico diretto.

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