Le equazioni di Maxwell

Maxwell  escogitò un modo per mettere per iscritto ciò che si sapeva al suo tempo sull'elettricità e sul magnetismo, un metodo per compendiare esattamente tutti quegli esperimenti con fili, correnti e magneti. Ecco le quattro equazioni di Maxwell per il comportamento dell'elettricità e del magnetismo nella materia:

Arpe nabla ed equazioni di Maxwell nella materia. Legenda:E campo elettrico B campo magnetico Ė sovrapuntato variazione nel tempo del campo elettrico B sovrapuntato variazione nel tempo del campo magnetico j corrente elettrica ρ densità delle cariche elettriche ε0 permittività elettrica (o costante dielettrica) μ0 permeabilità magnetica

Occorrono alcuni anni di fisica a livello universitario per capire davvero queste equazioni. Esse si scrivono usando una branca della matematica nota come calcolo vettoriale. Un vettore, scritto in grassetto, è una quantità che ha sia una grandezza sia una direzione. Novanta chilometri all'ora non sono un vettore, ma novanta chilometri all'ora sull'autostrada 1 in direzione nord sì. E e B rappresentano il campo elettrico e il campo magnetico. Il triangolo con un vertice verso il basso, chiamato nabla (a causa della sua somiglianza con un tipo di arpa dell'oriente antico), esprime le variazioni dei campi elettrico o magnetico nello spazio tridimensionale. I segni per "prodotto interno" o "prodotto scalare" (rappresentato dal · punto) e per "prodotto esterno" o "prodotto vettoriale" (rappresentato dal segno ×) dopo il nabla, esprimono due diversi tipi di variazione spaziale. Ėsovrapuntato e B sovrapuntato rappresentano la variazione nel tempo, il ritmo di mutamento dei campi elettrico e magnetico. j sta per una corrente elettrica. La lettera greca minuscola ρrho rappresenta la densità delle cariche elettriche, mentre ε0 epsilon con zero e μ0 mu con zero non sono variabili, bensì sono proprietà della sostanza in cui sono misurati E e B, e sono determinate dall'esperimento. In un vuoto, ε0 (permittività elettrica) e μ0(permeabilità magnetica) sono costanti della natura. Se consideriamo quante quantità diverse sono riunite in queste equazioni, sorprende la loro semplicità. Esse avrebbero potuto richiedere pagine e pagine, ma come vediamo non è così.

La prima delle quattro equazioni di Maxwell dice in che modo un campo elettrico dovuto a cariche elettriche (per esempio elettroni) varia con la distanza (esso diventa tanto più debole quanto più cresce la distanza). Il campo, inoltre, è tanto più intenso quanto maggiore è la densità di carica (quanto più grande è il numero di elettroni contenuti in un dato spazio).

La seconda equazione ci dice che nel magnetismo non c'è una proporzione paragonabile alla prima, in quanto le "cariche" magnetiche (o "monopoli" magnetici) di Mesmer non esistono: se tagliamo in due parti un magnete a barra, non otterremo un polo "nord" e un polo "sud" isolati, ma ogni pezzo della calamita avrà un suo polo "nord" e un suo polo "sud".

La terza equazione ci dice in che modo un campo magnetico variabile induca un campo elettrico.

La quarta equazione descrive l'inverso: in che modo un campo elettrico variabile (o una corrente elettrica) induca un campo magnetico.

  

Maxwell fissò ρ uguale a zero, per indicare che non ci sono cariche elettriche. Pose uguale a zero anche j, per indicare che non ci sono correnti elettriche. Non eliminò però l'ultimo termine nella quarta equazione, μ₀ε₀Ė, la debole corrente di spostamento nei materiali isolanti. Perchè no? Come si può vedere dalle equazioni, l'intuizione di Maxwell conservò la simmetria fra i campi magnetico ed elettrico. Persino in un vuoto, nella totale assenza di elettricità, o addirittura di materia, Maxwell suggerì che un campo magnetico variabile suscita un campo elettrico e viceversa. 
Le equazioni dovevano rappresentare la natura, e la natura, secondo Maxwell, doveva essere bella ed elegante.
(Per conservare la corrente di spostamento in un vuoto c'era anche un'altra ragione, più tecnica, su cui qui sorvoleremo.) 
Questo giudizio, in parte estetico, da parte di un fisico secchione, del tutto sconosciuto tranne che a pochi altri scienziati accademici, ha fatto di più per plasmare la nostra civiltà di dieci presidenti e primi ministri scelti a piacere.

In breve, le quattro equazioni di Maxwell per un vuoto dicono che in un vuoto:

1) non ci sono cariche elettriche

2) non ci sono monopoli magnetici

3) un campo magnetico variabile genera un campo elettrico

4) e viceversa: un campo elettrico variabile genera un campo magnetico

Scritte così le equazioni, Maxwell riuscì a mostrare facilmente che E e B si propagano nello spazio vuoto come se fossero onde. 
Egli potè inoltre calcolare la velocità c = celeritas dell'onda. Essa era esattamente 1 diviso per la radice quadrata diμ₀ε₀.

 

Ma μ₀ε₀ erano stati misurati in laboratorio. Introducendo i valori per μ₀ε₀, Maxwell trovò che la velocità a cui il campo elettrico e il campo magnetico dovrebbero propagarsi in un vuoto era, sorprendentemente, la stessa già misurata per la luce! L'accordo era troppo preciso per essere casuale. 
D'improvviso, in modo sconcertante, elettricità e magnetismo risultarono essere profondamente implicati nella natura della luce. Poichè la luce sembrava comportarsi come un'onda e derivare dai campi elettrico e magnetico, Maxwell la descrisse come un'onda elettromagnetica. Quegli oscuri esperimenti con batterie di pile e fili avevano qualcosa a che fare con la luminosità del Sole, col meccanismo della visione, con la natura della luce.Molti anni dopo, meditando sulla natura della luce, Albert Einstein scrisse: «A pochi uomini nel mondo tale esperienza avrebbe potuto dire qualcosa». Lo stesso Maxwell fu sconcertato dai risultati. Il vuoto sembrava agire come un dielettrico. Egli disse che poteva essere "polarizzato elettricamente". Vivendo in un'epoca meccanicistica, si sentì costretto a offrire un qualche tipo di modello meccanico per la propagazione di un'onda elettromagnetica in un vuoto perfetto. Immaginò perciò che lo spazio fosse riempito da una misteriosa sostanza che chiamò etere, la quale sosteneva e conteneva i campi elettrici e magnetici variabili nel tempo, come una pulsante ma invisibile gelatina permeante l'universo. Le vibrazioni dell'etere erano la ragione per cui la luce si propagava attraverso di esso, proprio come le onde dell'acqua si propagano nell'acqua e le onde acustiche nell'aria. Ma doveva essere una sostanza molto strana quest'etere, molto sottile, spettrale, quasi incorporea. Il Sole e la Luna, i pianeti e le stelle dovevano passare attraverso di esso senza esserne rallentati, senza neppure accorgersene. Eppure esso doveva essere abbastanza rigido da sostenere tutte queste onde che si propagano a una velocità prodigiosa. La parola "etere" viene ancora usata saltuariamente, senza che l'uso del termine implichi più l'accettazione del concetto. 

Quando nei primi tempi della radio, si diceva che le sue onde si propagano "nell'aria", si intendeva dire nell'etere. Oggi è però ovvio che le onde radio si propagano nel vuoto: uno dei principali risultati conseguiti da Maxwell. Tali onde non hanno bisogno dell'aria per propagarsi. La presenza dell'aria è per loro, semmai, un impedimento. L'idea della luce e della materia in moto attraverso l'etere avrebbe condotto, in capo ad altri 40 anni, alla teoria della relatività ristretta di Einstein, alla formula E = mc² e a molte altre cose. La relatività e gli esperimenti che condussero a essa mostrarono in modo conclusivo che non c'è alcun etere a sostenere la propagazione delle onde elettromagnetiche, come scrive Einstein nel suo famoso articolo"Sull'elettrodinamica di corpi in movimento". Le onde si propagano da sè. Il campo elettrico variabile genera un campo magnetico. Campo magnetico ed elettrico si sostengono a vicenda, «tirandosi sù per i legacci dei loro stivali (bootstraps)». Molti fisici furono profondamente turbati dalla fine dell'etere "luminifero". Essi avevano bisogno di un qualche modello meccanico per rendere ragionevole, plausibile, comprensibile l'intera nozione della propagazione della luce nel vuoto. Un tale modello è però un espediente, un sintomo delle nostre difficoltà a riconoscere ambiti in cui il senso comune non serve più. Il fisico Richard Feynman lo descrisse così: «Oggi noi comprendiamo meglio che ciò che conta sono le equazioni stesse, e non il modello usato per ottenerle. Possiamo soltanto chiederci se le equazioni siano vere o false. Otteniamo la risposta a questa domanda facendo esperimenti, e un gran numero di esperimenti hanno confermato le equazioni di Maxwell. Se togliamo le impalcature usate per costruirlo, troviamo che il bell'edificio di Maxwell sta in piedi da solo.»

Ma che cosa sono questi campi elettrici e magnetici che permeano tutto lo spazio? Che cosa significano Ėsovrapuntato e B sovrapuntato? Noi ci sentiamo molto più a nostro agio con l'idea di cose che si toccano e oscillano, che spingono e tirano, piuttosto che con "campi" che muovono come per magia degli oggetti a distanza, o con semplici astrazioni matematiche. Ma, come sottolineò Feynman, la nostra sensazione che nella vita quotidiana ci siano effettivamente contatti fisici solidi, sensibili - come quando, per esempio, prendiamo e usiamo un coltello - è erronea. Che cosa significa un contatto fisico? Che cosa accade esattamente quando prendiamo un coltello, o spingiamo un'altalena, o produciamo un'onda in un materasso d'acqua premendo periodicamente su di esso? Se consideriamo la cosa in profondità, troviamo che non c'è alcun contatto fisico. Sono le cariche elettriche presenti sulla nostra mano a influire sulle cariche elettriche sul coltello o sull'altalena o sul materasso d'acqua, e viceversa. Nonostante quanto sembrano dirci l'esperienza quotidiana e il senso comune, anche qui c'è solo interazione di campi elettrici. Nulla tocca nulla. Nessun fisico ha mai preso l'avvio da un senso d'impazienza nei confronti delle nozioni del senso comune, o dal desiderio di sostituirle con qualche astrazione matematica comprensibile solo da raffinati fisici teorici. 

I fisici partono, come tutti noi, da un'esperienza fondata su confortevoli nozioni del senso comune. Il guaio è che la natura non accondiscende ai nostri desideri. Se noi rinunciamo a insistere sulle nostre nozioni di come la natura dovrebbe comportarsi, ma ci poniamo dinanzi alla natura con mente aperta e ricettiva, troviamo che spesso il buon senso non funziona. Perchè? Perchè le nostre nozioni, sia ereditarie sia apprese, di come funziona la natura presero forma nei milioni di anni in cui i nostri progenitori furono cacciatori e raccoglitori. Nel nostro caso il senso comune è una guida infedele perchè la vita di nessun cacciatore-raccoglitore dipese mai dalla comprensione di campi elettrici e magnetici variabili nel tempo. L'ignoranza delle equazioni di Maxwell non fu mai punita dall'evoluzione. Ai nostri tempi è diverso. Le equazioni di Maxwell mostrano che un campo elettrico rapidamente variabile (con Ėsovrapuntato grande) dovrebbe generare onde elettromagnetiche. Nel 1888 il fisico tedesco Heinrich Hertz fece l'esperimento e trovò di avere generato un nuovo tipo di radiazione, le onde radio. Sette anni dopo alcuni scienziati britannici a Cambridge trasmisero segnali radio su una distanza di un chilometro. Il 12 dicembre 1901 l'italiano Guglielmo Marconi usò onde radio per trasmettere un segnale dalla Cornovaglia a Terranova, attraverso l'Oceano Atlantico. 

Il collegamento economico, culturale e politico del mondo moderno per mezzo di torri di radiodiffusione circolare, ripetitori a microonde e satelliti per telecomunicazioni risale direttamente al giudizio di Maxwell di comprendere nelle sue equazioni del vuoto le correnti di spostamento. E lo stesso vale per la TV, che ci istruisce e diverte in modo tutt'altro che perfetto; per il radar, che potrebbe essere stato l'elemento decisivo nella Battaglia d'Inghilterra e nella sconfitta dei 
nazisti nella 2a guerra mondiale; per il controllo e la navigazione di aerei, navi e sonde spaziali; per la radioastronomia e la ricerca di esseri intelligenti nel cosmo; e per aspetti significativi delle industrie elettroniche e microelettroniche. La nozione di campo di Faraday e Maxwell ha avuto inoltre un'influenza enorme nella comprensione del nucleo atomico, della meccanica quantistica e della struttura fine della materia. L'unificazione, a opera di Maxwell, dell'elettricità, del magnetismo e della luce in un tutto matematico coerente ispirò i tentativi successivi, alcuni dei quali coronati da successo, altri tuttora in stadi rudimentali, di unificare in una grande teoria tutti gli aspetti del modo fisico, comprese la gravità e le forze nucleari. 
Si può ben dire che fu Maxwell a dare inizio all'epoca della fisica moderna.

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