Equazioni differenziali

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Partiamo da una equazione che esprime la seconda legge della dinamica, della serie "ma Newton non si poteva fare i fatti suoi?"

F=ma, dove F sono le forse applicate ad un corso di massa m ed a è la sua accelerazione.

Questa dice che se conosco F ed m, posso calcolare a ed, in generale, se conosco due grandezze, ne ricavo la terza(non è possibile calcolare due cose se ne conosco solo una!)

Ma questa equazione è solo apparentemente semplice, nasconde un tranello. "Se io voglio sapere che velocità ha la nostra massa? O come si sposta?" Semplici ed innocenti domande, ma che scatenarono la scoperta di una nuova branca della matematica, il calcolo differenziale.
Cosa è la velocità, cosa è lo spostamento? Come sono legate all'accelerazione?

Vediamo. La velocità è come varia lo spostamento nel tempo: la scriviamo ds/dt (variazione della velocità rispetto alla variazione del tempo). Volgarmente è la derivata dello spostamento (si veda cosa è la derivata). Quindi v=ds/dt
L'accelerazione è come varia la velocità nel tempo: la scriviamo dv/dt . E' la derivata della velocità.

Quindi posso scrivere f=m dv/dt oppure ancora f= m d/dt ( ds/dt) cioè m d2s/dt2. Urka! la forza  è uguale alla massa moltiplicato la derivata seconda dello spostamento.

Il problema cioè che si pone è: conosco F ed m e devo calcolare una grandezza, la velocità, tale che la sua variazione nel tempo sia pari a F/m ed ancor peggio per lo spostamento. La variazione della variazione nel tempo dello spostamento è sempre uguale a F/m!

Quello che voglio dire è che f=ma è un'equazione in cui dentro ci stanno derivate: è un'equazione differenziale. L'ingognita sono funzioni del tempo, cioè come si sposta o che velocità ha un oggetto, istante per istante. Nel nostro caso dobbiamo trovare quella funzione del tempo, lo spostamento, che derivato non una ma due volte, sia uguale a F/m. Nota bene che è, in qualche modo, il problema inverso di calcolare derivate. devo cioè trovare funzioni che derivate diano il risultato noto, Esso si chiama calcolo integrale, e furono per questo create quelle strane formule che hanno una strana e sinuosa s all'inizio (vedi formula 9)

Immenso problema matematico, di cui non esiste soluzione unica, è come risolvere qualunque equazione differenziale. Lo si sa fare per classi di funzioni, non per tutte e spessissimo vengono usati i computer per risolverle numericamente.

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